PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

la definición de probabilidad y estadística son las siguientes:

PROBABILIDAD: la probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles.

ESTADÍSTICA: La estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

I. ANALIZA Y RESUELVE SITUACIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD

1.1 TEORÍA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTO: Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados paara poder identificar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan

letras mayúsculas.

FORMAS DE ENUNCIAR A LOS CONJUNTOS:

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

A = { x P(x) }= {x1,x2,x3, ⋅⋅⋅ x,n }

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera,

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

EJEMPLO DE UN DIAGRAMA DE VENN

En este ejemplo hay dos conjuntos R Y Q , cuando están sombreado R y Q pero no la parte de en medio donde se intersectan los circulos significa que el conjunto Ry Q no contienen elementos similares, pero cuando si se sombrea o ashura la intersección R y Q, tienen elementos similares.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

5) conjunto vacío o nulo: es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { }.

Ejemplos.

φ = { x son los dinosaurios que viven en la actualidad }

{ }={ x son los hombres mayores de 700 años }

φ = { x son números positivos menores que cero}

6) conjunto universal: contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio maestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U= [1,2,3,4,5]

UNIÓN DE CONJUNTOS

La unión de dos conjuntos A y B se denota por (A U B) y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos.

Ejemplo:
Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A U B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCIÓN

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por (A ∩ B).

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q ∩ P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A∩ B = no tiene elmentos entonces A y B son ajenos.

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d } (d) es un elemento del conjunto A pero no se encuentra en el conjunto B

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas. La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo. Y dentro de este rectángulo se encuentran regiones que indican los conjuntos.

EJERCICIOS CON RESPUESTAS

1.- por extensión represente los elementos del conjunto A que comprende del 0 al 9.
sol.- A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2.- representar el conjunto de todos los números reales positivos
sol.- S={x $\in$ R/ X>0}
3.- expresar de forma escrita el siguiente conjunto B= {X/ R | 5<X>8}
sol.- x pertenece a todos lo números reales solo si x toma valores mayores a 5 pero menores a 8.
4.- Expresar un conjunto vació.
sol. {}= {x son los dinosaurios que aun viven}
5.- que significa (A ∩ B )
SOL.- los elementos del conjunto A son también elementos que están contenidos en el conjunto B.

6.- sean los conjuntos A={a,b,c,d,e,f,g,h,i} y B={ a,c,e,g,i} exprese el conjunto A ∩B.

sol.- A∩B ={ a,c,e,g,i}

7.- se tiene los conjuntos E ={ 1,4,6,8,9} y F={0,1,2.6.9} Representar el conjunto de la intersección de estos dos.
sol.- E ∩ F.={ 1,6,9}

8.- LA caja D contiene chicles, paletas y galletas, La caja E contiene chiches galletas, sabritas, y jugos, exprese el conjunto intersección.

sol. D∩E ={ chicles, galletas}

9.- que indica el conjunto (A U B)
sol. es la unión de los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B.
10.- si se tiene dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7} Y B{10,12,14}, Represente el conjunto unión
sol. A U B ={1,2,3,4,5,6,7,10,12,14}
11.- Expresar el conjunto union, de A={B,C,D,E,G,L,M} y C={A,F,H,I,N,R,Z}
SOL.- A U C={A,B,C,D,E,F,G,H,I,L,M,N,R,Z}
12.- se tiene dos conjuntos A={ sombrero, zapato, chaleco, pantalón y B={calcetines, playera, camisa corbata}. exprese el conjunto unión y el conjunto intersección.
SOL. A U B= { sombrero, zapato, chaleco, pantalón, calcetines, playera, camisa, corbata}.
13.- sean los conjuntos A={ 1,2,3,4} Y B={0,5,6,8}, EXPRESAR EL CONJUNTO (A ∩ B)
SOL. (A ∩ B) no tienen elementos iguales, por lo cual es un conjunto ajeno.
14.- SI A={ a,b,c,d} y B={ a,b,c,e,f,g,i}, encontrar el conjunto A-B
sol. A-B={d}
15.- si se tiene los conjuntos B={1,2,3,4,5} Y A={1,2,3} encontrar el conjunto B-A
SOL. B-A={4,5}
16.- Expresar en forma de conjunto los 6 primeros numero naturales enteros positivos y decir a que conjunto pertenece
sol U={1,2,3,4,5,6}. pertenecen a un conjunto universal
17.- En un diagrama de veen ubicar el conjunto de los días de la semana.
sol.

18.- Del siguiente diagrama de venn expresar en conjunto por extensión.

sol.-A={a,b,c,d,g,h}
19.- expresar el conjunto A={ 1,2,3,5,7} en un diagrama de venn.

20.- Expresar las primeras 5 letras del abecedario por extensión

sol.- A={a,b,c,d,e,}

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

EXPERIMENTO ALEATORIO: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

ESPACIO MUESTRAL: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

PUNTO MUESTRAL: o suceso elemental el resultado de una sola prueba de un experimento muestral.

SUCESO O EVENTO:cualquier subconjunto de puntos muestrales.

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .

SUCESOS COMPLEMENTARIOS: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral.

SUCESOS INDEPENDIENTES: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

SUCESOS DEPENDIENTES: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

1.3 TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro, si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de NR maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

Ejemplos:

1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PERMUTACIÓN

una permutacion es una combinacion en donde el orden es importante. la notacion para permutaciones es p(nr) que es la cantidad de permutaciones de n elementos si solamente se selecciona r

ejemplo: si 9 estudiantes toman un examen y todos obtienen diferente calificacion, cualquier alumno podria alacanzar la calificacion más alta. la segunda calificacion mas alta podria ser obtenida por un alumnos de los 8 restantes. la tercera calificacion podria se obtenida por uno de los 7 restantes.

la cantidad de permutaciones posibles seria: p(9,3) =9*8*7= 504 combinaciones posibles de las tres calificaciones más altas.

la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:

COMBINACIÓN

Una combinación es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. en una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
la fórmula para determinar el numero de combinaciones es:

EJERCICIOS CON RESPUESTAS

1.- se tiene 11 adecenes y se seleccionan a 4 para asistir a un evento, determinar el numero de selecciones distintas que se pueden hacer.
sol.- ₁₁C₄ = 330
2.- ¿cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales?
Sol.- ₇C₃ = 35
3.- ¿ De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman todos a la vez?
sol.- 5! =120.
4.- Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado?
sol.- ₁₅p₆ = 3603600
5.- una caja contiene 8 dulces de menta y 4 de fresa.
a ¿ De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin diferenciar el color?
Sol. ₁₂C₅ = 792
b ¿ De cuantas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado final 3 de menta y dos de fresa?
Sol. (₈C₃ ) (₄C₂ ) = (56)(6) =336
6.- un asesor financiero cuenta con 8 opciones para invertir y ofrece a sus clientes carteras con 5 de estas opciones. ¿cuántas carteras diferentes puede ofrecer?
Sol. ₈C₅= 56
7.- Se tiene 10 baterías para celular, 3 de ellas están descompuestas.¿ De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías y que todas funcione?
Sol.- ₇C₃= 35
8.- ¿ cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras n,l,o,e, asi no tenga sentido?
Sol.- sol.- 4!= 24
9.- ¿ cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos:1,2,3,4,5?
Sol.- 5! = 120
10.- con las cifras 2,2,2,3,3,3,3,4,4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
sol.- 9!/3!.4!.2!=1260
11.- 4 libros distintos de matemáticas 6 diferentes de física y 2 diferentes de química se colocan en un estante. ¿ de cuantas formas diferentes es posible ordenarlos, sí los libros de cada asignatura deben de estar juntos?
Sol.- 4!.6!.3!= 207360
12.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos.¿ cuantos comités diferentes se pueden formar?
sol.- ₃₅C_{3= 6545}
_{13.- ¿De cuantas formas pueden mezclarse 7 colores tomándolos de tres en tres.?}
_sol.-₇C_{3= 35}
_{14.- un grupo compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forman un comité de 5 hombres y 3 mujeres de cuantas formas pueden formarse, si puede pertenecer al grupo cualquier hombre o mujer?}
_sol.-₅C₂₇C_{3 = 350}
_{15.- una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿ cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?}
Sol.- ₅C_1 +₅C_{2 +}₅C_3 +₅C₄₊₅C_{5= 31}
_{16.- obtener el numero de diagonales de un hexágono, utilizando la combinación.}
SOL.- ₆C_{2 - 6= 9}
_{17.- se coloca a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿de cuantas maneras puede hacerse?}
_sol.-p_{4 .}p_{5= 2880}
_{18.- ¿ cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 1,2,3,4,5,6,7,8,9. sin repeticiones?}
_{sol.- 9!/(9-4)!= 3024}
19.- ¿cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto morse?
Sol.- 5!/3!*2!= 10
20.- ¿cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3 y 4 sin repetir.
sol.- ₅p_{3= 60}

II PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

PROBABILIDAD SIMPLE

Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.

Ejemplo: hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. si se escoge una,
¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

solución: dividir la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) entre la cantidad total (87)
68/87= 0.7816
Redondear a la precisión deseada , es decir 0.781609 redondeando a centésimos es 0.78.

PROBABILIDAD CONJUNTA

expresa la probabilidad de que ocurra un suceso A y un suceso B.

Pueden ocurrir dos formas: que el segundo suceso depende del primero o que ninguno dependa del otro, por lo tanto veremos estas dos formas:

Para sucesos INDEPENDIENTES

NOTA: Si observas esta regla, puedes darte cuenta que se relaciona fuertemente con la Intersección entre conjuntos ( y ), es una multiplicación.

Ejemplo 1: Se sacan dos cartas sin restitución ( se saca la primera se observa y no se vuelve a meter ) de una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes ?

Sea R = sacar un rey

Observe que lo que necesitamos es la probabilidad de sacar un rey en la primera carta y un rey en la segunda, es decir:

Para sucesos independientes:

Ejemplo 2: Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones ?

Sea C = carta de corazones

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

Ejemplo

:Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.Dos o más eventos son no excluyentes, conjuntos cuando es posible que ocurran ambos Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplo

:Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos-eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.

Reglas de la Adición

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)

si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B)

si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

EJERCICIOS CON RESPUESTAS
1.- Si se tiene 8 computadoras portátiles ¿cuál es la probabilidad de que una persona en un concurso obtenga una computadora ?
Sol.- 1/8= 0.12
2.- En un librero a 128 libros y 54 son de biología ¿cuál es la probabilidad de sacar un libro de biología?
Sol.- 54/128= 0.42
3.- En una caja hay 150 dulces, 25 son de menta calcular la probabilidad de que al sacar un dulce salga un dulce de menta.
Sol.- 25/150= 0.16
4.- Expresar en porcentaje la probabilidad de obtener un celular con cámara de 35 celulares. si se tiene 245 aparatos celulares.
Sol.- 35/245= 0.1428=14.28%
5.- Demostrar si es verdadera o falsa la siguiente probabilidad : 35/22
Sol.- es falso porque: 35/22=1.4, y la probabilidad debe ser siempre menor o igual a 1.
6.- Entre 842 asaltos a mano armada que se sucintaron durante los pasados 5 años 143 nunca se resolvieron, si las condiciones no han cambiado calcula cual es la probabilidad de que no se resuelva un asalto a mano armada en esta ciudad?
sol. 143/ 842= 0.16
7.- En una muestra de 278 automóviles detenidos al azar en un retén varias veces al día , 126 conductores manejaban con el cinturón de seguridad puestos , cual será la probabilidad de que un conductor en esta carretera use su cinturón de seguridad
Sol.- 126/278= 0.45
8.- cual es la posibilidad de sacar una reina negra de un paquete bien revuelto de 52 cartas?
Sol.- 1/52= 0.0193
9.- cual es la probabilidad de cada resultado individual, si un juego tiene n resultados igualmente probables?
Sol.- 1/n
10.- si se selecciona una letra al azar de la palabra anémona ¿qúe probabilidad hay de que sea una consonante?
Sol.- 3/7=0.42
11.- si se sacan 3 cartas de un paquete ¿qué probabilidad hay de sacar 2 diamantes y un corazón?
Sol.- ₁₃C_{2 *} ₁₃C_1/ ₅₂C_{3= 0.04}
_{12.- sean A Y B dos sucesos con P(a)= 1/2 y P(B)= 1/3, P (}A∩B)_{= 1/4 determinar}
_{p(A/B), p(B/A),}
Sol.- 1/4/1/3=3/4, 1/4/1/2= 1/2
13.- Sean A Y B dos sucesos aleatorios con P(A)1/3, P(B)= 1/4, P(A∩B)= 1/5 determinar: P(A/B), P(A UB)
Sol.- 1/5/1/4= 4/5, 1/3+ 1/4+ 1/5= 23/60
14.- Si se tira un dado calcular la probabilidad de: que caigan menos o igual a 3 puntos o 5 puntos y mas.
Sol.- P(A OB) =P(que salga 3 o menos)+(5 o mas)=3/6 + 2/6 =5/6
15.- se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules. ¿cuál es la probabilidad de que salga un papel azul o un papel rojo?
sol.- P(AZUL)+P(ROJO)/50= 10/50 +15/50 = 1/2
16.- Dadas las probabilidades P(A)= 0.45, P(B)= 0.10, p(A ∩ B)=0.045, ¿los eventos A Y B son independientes o mutuamente excluyentes?
Sol.- No son mutuamente excluyentes
17.- D

III PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

3.1 PROBABILIDAD CONDICIONAL

la probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. la probabilidad condicional se escribe p(AlB), y se lee la probabilidad de A dado que , o tal que B.

Sea S un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde P(E)> 0, Si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra en evento a (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional.

ESTÁ EXPRESADO POR LA SIGUIENTE FÓRMULA

P(A|B)= p(A ∩B) / P(B)
DONDE:
P(A | B)= probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió
P(A ∩ B)= Probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo
P(B)= P probabilidad de que cura E

EJERCICIOS CON RESPUESTAS

1.- Sean A y B sucesos aleatorios con P(A)= 1/2, P(B)= 1/3, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/4 , Determinar p(A/B) P(B/A).

sOL.- P(A/B)=3/4, P(B/A)= 1/2

2.- Sean aA yB dos sucesos aleatorios con P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(A∩ B) =1/5, Determinar P(AU B), P(B/A)

Sol.- P(AU B)= 23/60, P(B/A)=3/5

3.- se tienen las siguientes probabilidades: 90% alumnos que estudian ingles, el resto estudian francés. El 30 % de los que estudian ingles son niños y de los que estudian francés el 40% son niños, si se elige a algún alumno cuál es la probabilidad de que sea niña?
Sol.- 0.9*0.7 + 0.1*0.6= 0.069
4.- De una baraja de 48 cartas se extrae simultaneamente dos de ellas calcular la probabilidad de que las dos sean copa.
Sol.- p(2c)= 12/48* 11/47= 0.059
5.- En un examen un alumno sólo ha estudiado 15 de 25 temas. Este se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiado.
Sol.- 1-(10/25*9/24)= 0.85
6.- Una clase está formada por 10 niños y 1 niñas, la mitad de las niñas y los niños han elegido francés como asignatura optativa,¿ cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea niña o estudiante de francés?
Sol.- P(NIÑO O ESTUDIANTE DE FRANCÉS) = 15/20
7.- Un taller sabe que en promedio acuden por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de cerrojeria, y por la tarde 2 con problemas eléctricos tres con problemas mecánicos y uno con problema de cerrojeria. Calcular el porcentaje de los que acuden en la tarde.
Sol.- P(TARDE)=6/20(100)= 30%
8.- Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
Sol.- P(MECÁNICOS)= 11/20(100)= 55%
9.- Una clase consta de seis niñas y 10 niños. se se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de seleccionar tres niños.
sol.- P(3 NIÑOS)= 10/16* 9/15* 8/14= 0.214
10.- Seleccionar por lo menos un niño.
sol.- P(AL MENOS UN NIÑO)=1-(6/16*5/15*4/14)= 0.964
11.- Una caja contiene 3 monedas. una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. se selecciona una moneda lanzar t se lanza al aire. hallar la probabilidad de que salga cara.
Sol.- p(cara)= 1/3*1/2+1/3*1+1/3*1/3= 0.611
12.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes, se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. a continuación se extrae una segunda bola. cual es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
p(mismo color)= 5/13*4/14+8/13*7/14=38/91
13.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. si ademas hay un 60% que no juega al fútbol cuál será la probabilidad de que un alumno escogido ala azar juegue sólo fútbol.
Sol.- p(juegue fútbol)= 0.3
14.- en una ciudad el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños, Se escoge a una persona al azar: si tiene los cabellos castaños ¿ cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
Sol.- P(OJOS CASTAÑOS| PELO CASTAÑOS)= 15/40
15.- En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. si se selecciona al azar a un alumno cual es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
Sol.- P(M∩G)=45/100
16.-La urana A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna b contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. se lanza un dado, si aparece un numero menor que 3 ; nos vamos a la urna A; Si el resultado es 3 o mas, nos vamos a la urna B, Se extrae una bola, cual es la probabilidad de que la bola sea blanca?
Sol.- P(bola blanca)= 2/6*4/10+4/6*8/12= 26/45
17.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. si oye el despertador la probabilidad de que reilase el examen es de 0.9 y encaso contrario de 0.5, si va a realizar el examen, cual es la probabilidad de que haya oído el despertador?
Sol.- P(Oye| haga examen)= 0,8*0.9/0.8*0.9+0.2*0.5= 36/41
18.- en una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
Sol.- P(B ESCOJA NOVELA)= 60/80*59/79+20/80*60/79= 237/316
19.- 25 DE CADA 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, cual será la probabilidad de encontrarnos con una persona sin gafas.
Sol.- p(sin gafas)= (1/5*75/100+4/5*400/1000)= 0.47
20.- En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una del llavero abre la puerta del trastero. se escoge al azar un llavero y de él una llave para abrir el trastero. cuál es la probabilidad de que se acierte con la lave
Sol.- (acertar)= (1/3*1/5)+(1/3*1/7)+(1/3*1/8)= 0.1559

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

se llama asi Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:

X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)

p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

Una variable discreta proporciona datos que son llamados cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo

la cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar
El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda
numero de circuitos en una computadora
el número de vehículos vendidos e un día en un lote de autos.

3.2 REPRESENTACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD PARA LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

En la teoría de la probabilidad y estadística la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a da suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de la probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

DISTRIBUCIÓN DISCRETAS: Son aquellas donde las variables asumen un numero limitado de valores por ejemplo el número de años de estudio.

EN LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS LAS MAS FUNCIONALES SON LAS SIGUIENTES:

UNIFORME DISCRETA
si de la variable aleatoria x asume valores de X_1,X_2,_..,X_k.Con iguales probabilidades, entonces la distribución uniforme es: f(x, k)=1/k

FÓRMULA

µ=∑^{K Xi}/K
σ^{2 =}∑^K(Xi-µ)²/K

La distribución de probabilidad del lanzamiento de un dado es:

S={ 1,2,3,4,5,6}
p(x= 1,2,3,4,5,6) =1/6

µ= 1+2+3+4+5+6/6=3.5
σ²=(1-3.5)²+ (21-3.5)²+... +(6-3.5)²/6 =2.91

3.3 CÁLCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
MEDIANA: La mediana o valor medio de una distribución de probabilidad se representa por m y se define por:
m= ∑x. f(x)

ejemplo: suponiendo una selección aleatoria donde n=6, p=.30, x= 0,1,2,3,4,5,6 y f(x) sea: 0.18, 0.303, 0.324, 0.185, 0.060, 0.010, 0.001 encontrar la media
m= 0(0.18)+ 1(0.303)+2(0.324)+3(0.185)+4(0.060)+ 5(0.010)+ 6(0.001)= 1.802

cuando una variable aleatoria puede tomar mucho valores diferentes, el cálculo de la media puede ser muy laborioso

FÓRMULA PARA CALCULAR LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

m= n.p

del problema anterior fácilmente obtendremos la media

m= n.p =(6)(.30)= 1.80

FÓRMULA PARA LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

m= n.a/a+b

si a= 5. b=7, y n=6 se sustituye en la formula y tenemos
media= 6*5/5*7=2.5

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos, la formula para calcular la desviación estándar , está dada por la siguiente ecuación

σ2= ∑(x-m)2. f(x) esta es la formula de la varianza, de aquí sale la fórmula para la desviación estándar y queda así:

σ= √∑(x-m)2. f(x)

ejemplo se tienen los siguientes datos.
((x-m)2. f(x))
0.38232
0.19392
0.01296
0.26640
0.29040
0.10240
0.01764
∑= 1.26604

aplicando la formula: σ= √∑(x-m)2. f(x)  tenemos:

σ= √1.26604 =1.13

(x-m)2. f(x) sale de multiplicar:   (x-y)2 por f(x)

x    f(x)      x.p(x)   (x-y)2   (x-m)2. f(x)
1 1/6 1/6 6.25 1.04
2   1/6   2/6 2.25 0.375
3    1/6   3/6 0.25 0.04
4    1/6   41/6 0.25 0.04
5    1/6   5/6 2.25 0.375
6    1/6 6/6 6.25    1.04

∑= 2.91 calculando la desviación estándar

σ= √2.91 = 1.70

EJERCICIOS CON RESPUESTA

1.- En una urna hay 30 bolas , 10 rojas, y el resto blancas se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite devolviendo la bola 10 veces, calcular la media y la desviacion típica.
sol.- 3.33, 1.49
2.- Las probabilidades de que un inspector de contruccion observe 0,1,2,3,4 o 5 violaciones a la ley de construcción en una casa construida en un fraccionamiento grnade son respectivamente, 0.41,0.22, 0.17, 0.13, 0.5, y 0.2. Encontrar la media de de esta distribucion de probabilidad.
Sol.- 1.25
3.- Las probabilidades de obtener 0,1,2,3 0 4 caras en cuatro lanzamientos de una moneda balanceada som: 1/16,4/16, 6/16, 4/16, y 1/16, encuentra la media de esta variable aleatoria
Sol.- 2
4.- Un estudio revela que 60% de toda la correspondencia de primera clase en todas las ciudades se entregan en 48 horas, encontrar la media y la varianza del numero de cartas de primera clase que se envían entre las 2 ciudades entre 8 seleccionadas al azar las cuales se entregan en 48 horas
Sol.- 4.805, 1.909
5.- Un estudio demuestra que el 80% de todos los pacientes que assiten a cierta clínica médica deben esperar por lo menos 30 minutos para ver a su doctor encontrar la media y la desviación estándar para el numero de pacientes entre 20 personas que asistan a esta clínica que deben esperar por lo menos 30 minutos para ver a su doctor

Sol.- 16, 1.79
6.- Las probabilidades de que hay 0,1,2,3,4 o 5 incendios causados por rayos durante una tormenta de verano son; 0.49, 0.360, 0.144, 0.38, 0.008 y 0.001, respectivamente calcular la media de esta distribución.
Sol.- 0.799
7.- Entre los 8 miembros de la facultad considerado para un ascenso cuatro tienen un doctorado en filosofía y cuatro no. ¿ si se seleccionan al azar cuatro de estos miembros , encontrar la probabilidad de que 0,1,2,3 o 4 de ellos tengan un doctorado en filosofía.
Sol.- f(0)= 1/70, f(1)16/70, f(2)= 36/70, f(3)= 16/70, f(4)= 1/70
8.- calcular la media de distribución de probabilidad del ejercio 7
Sol.- 2
9.- utilizando la formula de distribución hipergeométrica calcular la distribución de probabilidad del ejercicio 7
Sol.- 2
10.- la última novela de un autor ha tenido un gran éxito hasta el punto de que el 80% de los lectores ya han leído un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura. ¿ cual es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
Sol.- 0.1536
11.- si se tiene los siguientes datos:   x = 120    p(x) 1/600 calculas cuanto vale
x.p(x).
Sol.-   x.p(x).= 0.2
12.- El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirá. si el restaurantes acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?
Sol.- 0. 5799
14.- completa la tabla siguiente si solo se conocen los siguientes datos
x p(x)     x.p(x)     (x-y)2     (x-m)2. f(x)
4 1/8
5 1/4
6 5/16
7 5/16
Sol.-

x p(x)     x.p(x)     (x-y)2     (x-m)2. f(x)
4 1/8 4/8 27.56 110.24
5 1/4 5/8 18.06 90.3
6 5/16 30/8 10.56 63.36
7 5/16 35/8 5.06 1.58
E=9.2

15.- D los datos de la tabla anterior calculas la desviación estándar
Sol.- 16.29

16.- una poblacion tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0, calcular la probabilidad de un valor localizado ente 75 y 90
Sol.- 0.4017

17.- Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en down river federal savings tiene una distribución normal, una media de $ 70, 000 y una desviación estándar de $ 20,000. esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿ cual es la probabilidad de que el monto solicitado sea de $ 80,000 o superior p( x>80,000)?
Sol.- P(X>80,000)= 0.3085
18.- Calcular la varianza de la distribución :
x 1 3 5 7
-------------------------------------------
p 0.3 0.1 0.4 0.2

Sol.- 2.24

19.- Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas . hacer una tabla con las probabilidades.
Sol.-
x p(x)    x.p(x)    (x-y)2   (x-m)2. f(x)
0 1/8 0 2.25     0
1 3/8 3/8 0.25 0.25
2 3/8 6/8 0.25 0.5
3 1/8 3/8 2.25 6.75

20.- Calcular la desviación estándar de la tabla anterior
Sol.- 2.73

IV APLICA Y REPRESENTA LA PROBABILIDAD BINOMIAL Y DISTRRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.

4.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra.

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Donde:

P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del evento

p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como q = 1 – p )

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados

n = número de intentos

EJEMPLO

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?

Donde:
P(X)= Probabilidad de que ocurra el evento
p = (0.5)
q = (se define como q = 1 – p ) (0.5)
X = 2
n = 6

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio

muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se

extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende

o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores.

Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita

cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.

Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios M ⊂ N y (N - M) ⊂ N entonces, la

probabilidad de que en n ensayos x pertenezca a M y (n - x) pertenezca a (N - M) está dada por:

P(x ,N, M, n)= (M/X)(N-M/x-n) /( N/n)

donde:

N = El tamaño de espacio muestral S

n = El número de ensayos

M = El número de éxitos en el espacio muestral

N - M = Número de fracasos del espacio muestral

x = Número de éxitos en la muestra

n - x = Número de fracasos de la muestra.

Si en una empresa se presentan para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y

8 son mujeres, calcular " El número de hombres contratados."

N = {13 aspirantes para cubrir 2 vacantes}

A = {Número de hombres contratados}

E0 = Se contratan x0 = 0 hombres, equivale a contratar (n - x0) = 2 mujeres.

E1 = Se contratan x1 = 1 hombres, equivale a contratar (n - x1) = 1 mujeres.

E2 = Se contratan x2 = 2 hombres, equivale a contratar (n - x2) = 0 mujeres.

desarrollando

N = 13 total de aspirantes

M = 5 aspirantes hombres

N-M = 8 aspirantes mujer

n = 2 vacantes totales

x = 0,1,2 hombres posibles a contratar

n-x = 2,1,0 mujeres posibles a contratar

P(E₀₎= P(0,13,5,2)=(5/0)(8/2)/(13/2)= 28/78 = 35. 88%

P(E₁₎= P(1,13,5,2)=(5/1)(8/1)/(13/2)= 40/78 =51.28%

P(E₂₎= P(2,13,5,2)=(5/2)(8/0)/(13/2)= 10/78 = 12.82%

EJERCICIOS CON RESPUESTAS

1.- Se lanza una moneda 4 veces. calcular la probabilidad de que salgan mas caras que cruces.

SOL.- 0.3125

2.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que tienen buena salud. según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona es estas condiciones viva 30 años o mas es de 2/3. hallar la probabilidad de que. transcurridos 30 años vivan las cinco persoans.

Sol.- 0.132

3.- del ejercico anterio calcular la probabilidad de que vivan al menos tres persoanas

Sol.- 0.791

4.- si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicado, ¿ cuál es la probabilidad de que cuando se marquen 10 numeros de telefono elegidos al azar, sólo comuniquen 2?

Sol.- 0.3020

5.- La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es de 1/4. si dispara 10 veces ¿ cúal es la probabilidad de que acierte exactamente en tres oacaciones?

Sol.- 0.25

6.- ¿En donde se utiliza la distribucion binomial?

sol. Juegos de azar, Control de calidad de un producto , en educación. en las finanzas.

7.- menciona el nombre del autor quen planteo la distribucion binomial

Sol.- Jacobo Bernoulli

8.- un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar si o no, suponiendo que a las personas que se le aplica no sabe contestar a ninguna de las preguntas y en consecuencia contesta la azar. ¿cuál es la probabilidad de tener 5 aciertos?

sol.- 0.2461

9.- ¿cual es la probabilidad de obtener algún acierto?

Sol.- 0.99

10.- La probabilidad de que un estudiante obtenga un titulo de licenciatura es de 0.3. hallara la probabilidad de que un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso finalice la carrea

SOL.- 0.7

11.- ninguno de los siete finalice la carrera

sol.- 0.0824

12.- al menos 2 acaben la carrera

Sol.- 0.0002

13.- La probabilidad de que un alumno de 1° de bachillerato repita curso es de 0.3, elegimos 20 alumnos al azar ¿ cual es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?

Sol.- 0.13

14.- calcular la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños.

Sol.- 0.25

15.- cinco fabricantes producen en determinado dispositivo,cuya calidad varia de un fabricante a otro. se eligen 3 fabricantes al azar haya la probabilidad de que la seleccion contengan 2 de las 3 mejores

Sol.- 0.6

17.- En una oficina donde se ensamblan computadoras, en una mesa hay 20 chips, de los cuales 6 están dañados,el señor gates recoge 8 chips y mas tarde otra persona recoje los restantes,¿ cual es la probabilidad de que sólo uno de ellos se hay llevado todos los chips defectuosos?

Sol.- 0.0245

18.- en un lote de 10 proyectiles se disparan 4 al azar si el lote contiene 5 proyectiles que no disparan ¿ cuál es la probabilidad de que los 4 disparen?

Sol.- 0.0238

19.- En una fiesta hay 20 personas ; 14 casadas y 6 solteras, se eligen 3 personas al azar ¿cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

Sol.- 0.0175

20.-En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. se sacan 4 bolas ¿cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?

Sol.- 0.3535

4.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CON VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos

valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

La estatura de un alumno de un grupo escolar.

El peso en gramos de una moneda.

La edad de un hijo de familia.

Las dimensiones de un vehículo.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (x).

Se llama asi Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo:

x es la Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, n)

PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)

p(x) Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

EJERCICIOS CON RESPUESTAS

Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad f(x)=a(1+x2) si x ∈ (0,3) y f(x) = 0

en los dem´as casos. Se pide:

1. Hallar a y la función de distribución de X.

sol. 1/12

2. Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2.

5/18

3. P(X < 1).

sol.- 1/9

4. P(X < 2|X > 1)

sol.- 45/144

5.- sea Y una variable aleatoria con función de densidad py(y) = 0,2 −1 ≤ y ≤ 0.

0,2 + k y 0 < y ≤ 1 0 en el resto

Determiniar el valo r de k

sol.- 1.2

6.- la cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:

f(x)={ 0, x<0, x/2, 0 <_ x< 1, 1/2, 1<_x<2, x/4, 2<_x< 4, 1, 4<_x)

donde x viene expresando en cientos de euros. determinar la probabilidad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado

a) sea superior a 200 euros

sol.- p(x>2) = 0.5

b) sea inferios a 450 euros

sol. p(x>450)=1

c) sea superios a 50 y menor o iguala 250

sol.- p(0.5<x <_ 250)= 3/8

d) calcular el ahorro mensual medio.

E{x}= 1.75

7.- con objeto de establecer un plan de produccion, una empresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus ptenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida por la funcion de densidad.

px(x)= { 3/8 (4x-2x2) 0 <_x <_2

0 en el resto}

donde x viene expreada en millones de unidades. ¿que cantidad C deberá tener dispuesta a la venta, al comienso de cada semana, para poder satisfaces la demanda en dicho periodo con una probabilidad de 0.5?

sol.- sol.- 1

8.- cierta aleacion de forma con la mezcla fundida de dos metales. la aleacion que resulta contiene cierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. suponiendo que X tiene la sigueinte funcion de densidad de probabilidad:

px(x)= 10 ^-53X(100-x)/5, 0<_ x<_ 100, y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleacion, es una seccion 3: variables aleatorias

funcion del porcentaje plomo G= A+BX, se pide calcular el beneficio esperado.

SOL.- E[G| = A+ 50B

9.- Si la duración en horas de cierto tubo de radio es uan variable aleatoria continua Z con funsion de densidad

px(x)= 100/x^{2, x> 100,}

^{9.- probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavia despues de 150 horas de servicio}

^{sol.- 1/4}

^{10.- si se intalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidad de que exactamente uno tenga que ser sutituido después de 150 horas de serviso.}

^{sol.- 4/9}

^{11.- ¡cual es el numero minimo de tubos n que pueden poner en un sistema de paralelo, de modo que hay una probabilidad 0.999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavia el sistema?}

sol.- 6.29

12.- El tiempo de vida en cientos de horas de un transitor es una variable aleatoria z con función de distribucion

fz(z) { 0 z<0

1-e ^-z,^{2 0<_z}}

^{13- obtener la funcion de densidad de probabilidad pz(z).}

^{sol.- z>0}

^{14.- calcular la probabilidad de que un determinado transitor dure mas de 200 horas.}

^sol.-e ^-⁴

^{15.- una estructura metálica puede sufrir, debido al calor una dilatacion que que medida en cm es una variable aleatoria x con función de densidad de probabilidad dada por:}

^{px(x)= { ax 0 <_ x <_ 3}

^{b 3< x <5}

b/3(8-x) 5<_ x<_8}

16.- sabiendo que la función de densidad de probabilidad es una funcion continua de x, determinar a y b

sol.- 1

17.- calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatacion sea inferior a 3

sol.- 3/10

18.- si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado mas de 3 cm, ¿ con qué probabilidad la dilatación estará entre 3 cm y 5 cm?

sol.- 4/7

19.- sea una variable aleatoria X, que tiene como función de densidad:

px(x)= { x + 6/50 -6 <_ x<_4

0 resto}

calcular la función de distribución de X

F(x)= ʃ^x_-6x+6 /50 dx= 1/50(1/2x²6x + 18)

20.- sea x una variable aleatoria con E(x) = 2 y var(x)= 0.5. sea y = 3X-8. hallar E(y) y var(y)

sol.- E(y)= E(3x -8)=3E(x)-8=-2

var(y)=var(3x-8)= 9var(x)= 4.5

21.- la demanda , expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya funsion de densidad es

px(x)= x/6. 2<_ x <_4

cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda?

el fabricante del producto sabe que cada kilo vendido aporta un beneficio de 12 euros , y cada kiloque queda sinvender supone una perdida de 6 euros. es por tanto, importante para él establecer cual es la cantidad a fabricar. si el criterio para establecer dicha cantidad es la maximizar la ganacia esperada, determinar cuál e sla fabricacion optima.

sol.- 3.46

22.- supongamos que una variable aleatoria x tiene funsion de densidad de probabilidad:
px(x)= 2X 0<x<1
determinar la función de densidad de probabilidad de las variables
a) y= h(x)= 3x +1
sol- f(y) 2/3(y-1)(3) 1<y<4
b) z=H(x)= e ^-x
^{sol.- -2 ln/Z} e ^-3<z< e ^-1

4.3 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL

La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria contínua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística :

Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado.

Propiedad:

No importa cuáles sean los valores de µ y σ para un distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:

Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.

Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.

Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.

Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones que haremos de la distribución normal de probabilidad implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2 ó 3 desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos existen tablas estadísticas que indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más o menos) a partir de la media.

Afortunadamente también podemos utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.

USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORLAM DE PROBABILIDAD NORMAL STANDAR

Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente una tabla de la distribución de probabilidad normal estándar.

EL VALOR DE Z ESTA DETERMINADO POR LA FORMULA:

En la que:

x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa.

µ = media de la distribución de la variable aleatoria.

σ = desviación estándar de la distribución.

z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la

distribución. (el uso de z es solamente un cambio de escala de medición del

eje horizontal)

EJEMPLO.

Partiendo de la misma premisa, µ = 500

y σ = 100. ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?

Z= 1.5 desviaciones estándar

Si buscamos Z=1.5 (refiérase a la tabla), encontramos una probabilidad de 0.4332.

Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.4332

EJERCICIOS CON RESPUESTA

1.- los pesos de los individuos de una poblacion se distribuye normalemente con media 70 kg y desviacion típica 6 kg de una poblacion de 2000 personas, calcula cuantas personas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 kg
sol.- 1365 personas.
2.- la media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es de 70 kg y la desviación tipica 3 kg. suponiendo que los pesos se distribuyen normalemente, hallar cuántos estudiantes pesan entre 60 y 75 kg
sol.- 476

3.- ¿cuántas personas pesan mas de 90 kg?
sol.- 0

4.- se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con medida 78 y desviacion tipica 36. se pide:
1.- cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificacion superior a 72?

sol.- 0.5636

5.- tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribucion una distribucion n(65, 18). se desea clasificar a los examinados en tres grupos de baja cultura general, de cultura general aceptable , de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la poblacion, un 65% el segundo y un 15% ene el tercero. ¿ cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

sol.- Z1= - 0.84
Z2= 1.04

6.- varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviacion típica 15

sol.- 0.3797.

7.- ¿que intevalo centrado en 100 contiene al 50 % de la poblacion?
sol.- (90,110)

8.- una población normal tiene una medida de 80, una desviación estándar de 14

a) calcular la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90
sol.- p(75<_ x<_90)= 0.4017

b) calcule la probabilidad de un valor de 75 o menos
sol.- p(x<_75)= 0.3594

9.- los montos de dinero que se piden en las solicitudes de prestamos en down river federal savings tiene una distribucion normal, una media de $ 70,000 y una desviacion estándar de $ 20. 000. Esta mañana se recibio una solicitud de préstamo. cuál es la probabilidad de que el monto solicitado sea de $ 80, 000 o superior?
sol.- p(x>_ 80,000)= 0. 6915

10.- calcular el monto solicitado que oscile entre $ 65,000 y 80, 000

sol.- p(65,000<_ x <_ 80,000)= 0.2902

11.- calcular el monto solicitado sea de $65,000 o superior
sol.- p(x>_ 65,000)= 0.5987
12.- entre las ciudades de estados unidos con una poblacion de mas de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. el tiempo de viaje mas largo pertenece a la ciudad de nueva york, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. suponga que la distribucion de kis tiempos de viaje en la ciudad de nueva york tiene una distribucion de probabilidad normal y la desviacion estandar es de 7.5 minutos

que porceentaje de viajes en la ciudad de nueva york consumen menos de 30 minutos
sol.- p(x<_30)= 13.35%
13.- ¿ que porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
sol.- p(30<_ x <_ 35)= 0.1965= 19.65%
14.- dada una distribucion normal estandar, encuentre el área bajo la curva que está a la izquierda de z= 1.43
sol.- p(z<1.43)= Φ(1.43)= 0.9236
15.- Dada una distribución normal estandar con µ = 30 y σ = 6, encuentre p(z<k)= 0.0427
sol.- =-1.72
16.- dada una variable x normalmente distribuida con media 18 y desviacion estandar 2.5, encuentre p(x<15)
sol.- p(x<15)=0.1151
17.- un investigador cientifico reporta que unos ratones viran un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y despues se enriquecen con vitaminas y proteinas, suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normlamente con una desviacion estandar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un raton dado viva mas de 32 meses
sol.- p(x>32)=0.8979
18.- calcular el área a la derecha de z=1.5
sol.- A=0.066
19.- calcular el área entre z= 0 y z=1.3
sol.- .4032
20.- encontrar el área bajo la curva si z=-1.5
sol.-0.4332

a continuación mostrare unos links donde pueden ver algunos videos relacionados con el blog, espero y les sirva este material.

http://youtu.be/Xoh9s8V6Yao

http://youtu.be/I5KAgbwWhx4

http://www.youtube.com/watch?v=t76JoFhPzHw

domingo, 7 de abril de 2013

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras